DERIVATIF

Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Di bidang ekonomi sendiri derivatif biasanya digunakan untuk mencari nilai elastisitas baik permintaan maupun penawaran dan elatisitas produksi. Selain itu jika diketahui fungsi dari penerimaan total atau fungsi dari biaya total, untuk mencari fungsi dari penerimaan marginal dan biaya marginal dapat dilakukan dengan cara mendeferensialkan masing-masing fungsi.
Jika diketahui suatu fungsi sederhana sebagai berikut
Y=f(x)
Maka
∆y/∆x=(f(x_0+∆x)-f(x_0))/∆x
∆y/∆x ini merupakan turunan dari fungsi tersebut.
ex: diketahui suatu fungus sederhana Y=x^2+x
maka dari rumus diatas diperoleh hasil sebagai berikut
∆y/∆x=(f(x_0+∆x)-f(x_0))/∆x
y= ((x+∆x)^2+(x+∆x)-(x^2+x))/∆x
y= ((x^2+2x∆x+〖∆x〗^2 )+(x+∆x)-(x^2+x))/∆x
y= (x^2+2x∆x+〖∆x〗^2+x+∆x-x^2-x)/∆x
y= (2x∆x+〖∆x〗^2+∆x)/∆x
y=2x+∆x+1
lim┬(∆x→0)⁡〖y^'=〗 2x+0+1
y^'=2x+1

A. Rumus-rumus dasar derivative
Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y=k, dimana k adalah konstanta maka y’ adalah 0
Contoh:
Jika y=10000
y’=0

Diferensiasi fungsi linier
Jika y^'=ax+b maka diferensiasinya adalah a
Contoh:
Jika y=2x+5
y’=2

Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika 〖y=x〗^n maka diferensiaianya adalah 〖nx〗^(n-1)
Contoh:
Jika 〖y=x〗^5
〖y'=5x〗^4

Diferensiasi fungsi operasi penjumlahan dan pengurangan
Jika y=ax^2+bx+c maka diferensiasinya adalah ax+b, begitu juga sebaliknya.
Contoh:
Penjumlahan
Jika y=x^2+2x+1
y^'=2x+2
Pengurangan
Jika y=x^2-2x-1
y'=2x-2

Diferensiasi fungsi operasi perkalian dan pembagian
Untuk perkalian jika y=u.v dimana u=f(x) dan v=g(x) maka diferensiasinya adalah y’=u’v+uv’
Untuk pembagian jika y=u/v dimana u=f(x) dan v=g(x) maka diferensiasinya adalah y=(u^' v-uv')/v^2

Diferensiasi fungsi komposisi
Jika y=f(g(x)), maka fungsi komposisi tersebut dapat dimisalkan menjadi y=f(u) dan u=g(x), maka diferensiasinya adalah dy/dx=dy/du*du/dx
Contoh:
Jika y=〖(x^(1/2)+1)〗^4
Maka dapat dimisalkan terlebih dahulu 〖u=(x〗^(1/2)+1).
〖u=(x〗^(1/2)+1) maka u'=du/dx=〖1/2 x〗^(-1/2) (i)
y=〖(u)〗^4 maka y^'=〖dy/du=4u〗^3 (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh
dy/dx=dy/du*du/dx
〖=4u〗^3*〖1/2 x〗^(-1/2)
=4(x^(1/2)+1)^3*1/2 x^(-1/2)
=2x〖(x^(1/2)+1)〗^(-3/2)

Diferensiasi fungsi implisit
Fungsi implisit adalah suatu fungsi dimana variable bebas dan variable tak bebasnya ditulis dalam satu ruas yang sama. Fungsi seperti ini adalah kebalikan dari fungsi eksplisit. Misalnya x+y=0, merukan sebuah fungsi implisit, sedangkan jika dari fungsi tersebut jika ingin diubah menjadi fungsi eksplisit menjadi y=-x.
Contoh:
Berikut ini contoh sederhana mengenai fungsi implisit. diketahui suatu persamaan implisit y-x^2-2x-1=0 maka diferensiasinya adalah sebagai berikut
y-x^2-2x-1=0
dy/dx-2x-2=0
dy/dx=2x+2
Suatu persamaan implisit hanyalah merupakan bentuk lain dari persamaan eksplisit, hasil dari diferensial yang diperoleh pun juga sama. Dapat dilihat dari perhitungan dibawah ini.
y-x^2-2x-1=0
y=x^2+2x+1
y^'=2x+2 (sama)
Diferensiasi fungsi logaritmik
Diferensiasi fungsi lo adalah diferensiasi dimana fungsi yang didiferensiasikan adalah fungsi logaritmik. Rumus-rumus atau kaidah yang digunakan antara lain sebagai berikut
Jika 〖y=log〗_a⁡b
y^'=1/(b log_e⁡a )
Begitu juga seandainya yang didiferensialkan logaritma dengan bentuk fungsi.
〖y=log〗_a u dimana u=f(x)
y^'=1/(u log_e⁡a )
Bentuk log_e⁡a sering juga disebut logaritma natural yang biasanya dilambangkanln⁡a. Maka dari hasil diatas dapat disederhanakan menjadi
y^'=1/(b log_e⁡a )
y^'=1/(b ln⁡a )
Sementara jika fungsi yang didiferensialkan logaritma berbasis e hasilnya adalah sebagai berikut
Jika y=ln⁡a
〖y=log〗_e⁡a
y^'=1/(a log_e⁡e )
y^'=1/a
Begitu juga dengan logaritma berbasis e dengan bentuk fungsi
Jika y=ln⁡u
y^'=u/dx*1/u
y^'=u'/u

Diferensiasi fungsi eksponensial
Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Untuk turunan fungsi yang berbentuk eksponen, rumus atau kaidah-kaidah yang digunakan adalah sebagai berikut
Jika y=a^x
y^'=a^x ln⁡a
Jika y=e^x
y^'=e^x

Diferensiasi fungsi trigonometri
Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi2 trigonometri seperti sin, cos, tan, dsb. Namun pada penerapannya rumus-rumus yang lazim dipakai hanyalah sinus dan cosinus saja. Adapun kaidah-kaidah yang dipakai adalah sebagai berikut
Jika 〖y=sin〗⁡x
y^'=cos⁡x
Jika y=cos⁡x
〖y^'=-sin〗⁡x

B. Hubungan antara suatu fungsi dengan turunannya
Menentukan garis singgung
Telah dijelaskan di muka bahwa derivative adalah kemiringan/lereng dari fungsi persamaannya. Maka untuk mencari persamaan garis yang menyinggung sebuah kurva dapat dilakukan dengan cara menurunkan persamaan yag bersangkutan.


Persamaan garis diatas(garis lurus) dapat dicari pertama-tama dengan cara menurunkan persamaan kurvanya. Misalkan diketahui peramaan kurvanya adalah y=-x2+3x+5, ,maka nilai m atau koefisien kemiringannya adalah

y=-x^2+3x+5
y^'=-2x+3
m=-2

selanjutnya kita tentukan dulu titik singgungnya. Misalkan kita ambil titi (x,y)=(2,1) maka diperoleh persamaan garis singgungnya sebagai berikut
y-y_0=m(x-x_0)
y-1=-2(x-2)
y=-2x+4+1
y=-2x+5

jadi diperolehlah persamaan garis singgung y=-2x+5 yang menyinggung persamaan y=-x2+3x+5 di titik (2,1).

Menentukan garis normal
Garis normal adalah garis yang memotong tegak lurus garis singgung kurva. Sama seperti garis singgung, garis normal dapat dicari dengan cara menurunkan persamaan kurvanya terlebih dahulu. Tetapi karena tegak lurusp koefisien m pada garis normal nilainya berbeda dengan koefisien m pada garis singgung, perbedaannya dapat dicari dengan cara sebagai berikut

m_1*m_2=-1
m_2=-1/m_1

Dimana m1 adalah koefisien kemiringan untuk garis singgung sedangkan m2 adalah koefisien kemiringan untuk garis normal. Setelah koefisien m nya diketahui maka langkah selanjutnya menentukan titik potongnya lalu menentuka persamaan normalnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan perhitungan dibawah ini

y=-x^2+3x+5
y^'=-2x+3
m=-2 ( 12)
maka m2 nya adalah
m_2=-1/(-2)
=1/2
Maka persamaan garis normalnya adalah

y-y_0=m(x-x_0)
y-1= 1/2(x-2)
y=1/2 x-1+1
y=1/2 x
jadi diperolehlah persamaan garis singgung y=1/2 x yang menyinggung persamaan

y=-x2+3x+5 di titik (2,1).


Menentukan fungsi naik dan turun
Derivative juga dapat digunakan untuk mencari apakah fungsi tersebut naik atau turun. Jika diketahui suatu fungsi y=f(x) maka jika y^'>0 fungsi tersebut monoton naik, begitu juga kebalikannya jika y^'<0 maka fungsi tersebut monoton turun. Sedangakan jika y^'=0 maka berada dalam titik stasioner. Titik stasioner sendiri adalah tititk balik minimum atau maksimum.
Diketahui suatu persamaan penerimaan TR=10-3Q-Q^2+1/3 Q^3, tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.
Nilai maksimum atau minimum tak lain adalah titik dimana fungsi tersebut mengalami titik balik, pertama-tama yang harus kita cari adalah nilai x.

TR^'=0
-3-2Q+Q^2=0
(Q+1)(Q-3)=0
Q=-1 atau Q=3

Maka kemungkinan fungsi tersebut mangalami titik balik adalah pada Q=-1 atau Q=3. Selanjutnya kita cari TR’’ untuk mengetahui pada titik tersebut minimum atau maksimum.

TR^'=-3-2Q+Q^2
TR^''=-2+2Q

Untuk Q=-1
TR^''=-2+2Q
=-2+2(-1)
=-4 (<0 maka pada Q=-1 fungsi tersebut mengalami titik balik maksimum)




nilai TR
TR=10-3Q-Q^2+1/3 Q^3,
=10-3(-1)-(-1)^2+1/3 (-1)^3
=10+3-2-1/3
=102/3

Jadi titik balik maksimumnya pada titik (-1,102/3)

Selanjutnya adalah mencari titik balik minimumnya. Maka kita kasukan nilai Q=3

Untuk Q=3
TR^''=-2+2Q
=-2+2(3)
=4 (>0 maka pada Q=3 fungsi tersebut mengalami titik balik minimum)

nialai TR
TR=10-3Q-Q^2+1/3 Q^3,
=10-3(3)-(3)^2+1/3 (3)^3
=10-9-9+9
=1

Jadi titik balik minimumnya pada titik (3,1)



C. Penerapan derivative pada Ekonomi
Elastisitas
Dalam bidang ekonomi derivative juga dapat digunakan untuk mencari nilai elastisitas dari sebuah fungsi baik harga, permintaan, penawaran maupun produksi. Elastisitas adalah perubahan relative antara variable yang satu dengan perubahan relative variabel yang lainnya. Di bidang ekonomi pasti kita tidak akan jauh-jauh dari harga, permintaan, penawaran dan lain-lain, maka variabel-variabel yang digunakan antara lain Q(kuantitas) P(harga), Qs(penawaran), dan Qd(permintaan).
Elastisitas harga
η=(ΔQ/Q)/(ΔP/p)=ΔQ/Δp*p/Q

Elastisitas permintaan
Q_d=Qd^'*p/Qd

Elastisitas penawaran
η_s=Qs^'*p/Qs

Elastisitas produksi
η_p=P'*p/P


Biaya
Biaya total
Biaya total adalah total biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik merupakan biaya tetap atau variable. Biaya tetap adalah biaya yang dikeluarjan dengan jumlah yang tetap, berapapun jumlah barang yang diproduksi, bahkan pada saat titik 0. Berikut ini rumus dari biaya total.

TC=f(Q)
=FC+VC

Biaya rata-rata
Biaya rata-rata adalah biaya per satuan unit, jadi tak lain adalah total biaya dibagi Q(kuantitas).

AC=TC/Q

Biaya marginal
Biaya marginal adalah biaya yang dibutuhkan atau yang dikeluarkan pada setiap penambahan satu unit produksi. Nah disinilah aplikasi derivative diterapkan, persamaan biaya marginal adalah turunan dari biaya total.

MC=TC'

Penerimaan
Penerimaan total
Penerimaan total adalah total dari semua penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

TR=f(Q)
=P*Q

Penerimaan rata-rata
Penerimaan rata-rata adalah penerimaan per unit yang diperoleh dengan membagi total penerimaan dengan jumlah barang yang diproduksi. maka fungsi permintaan rata-rata akan berbentuk menjadi sebagai berikut.

AR=TR/Q
=((P*Q))/Q

Penerimaan marginal
Penerimaan marginal adalah pertambahan penerimaan yang diperoleh akibat bertambahnya penjualan persatuan unit.

MR=TR'



Contoh soal:
1. Permintaan fungsi suatu barang ditunjukan oleh fungsi sebgai berikut
4P=80-16Q
Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, harga jualnya, dan berapa pula penerimaan jika barang yan g terjual sebanyak 2 unit, kemudian analisalah.
Diket: 4P=96-16Q  p=24-4Q
Jawab:
TR=P.Q
=(24-4Q).Q
=24Q-4Q2
TR’=24-8Q
TR max jika TR’=0
24-8Q=0
Q=3
TR jika Q=3
TRmax=24Q-4Q2
=24(3)-4(3)2
=72-36
=36

Harga maksimum adalah sebesar 12 yaitu didapat dari 36 dibagi dengan 3.
TRQ=10=24Q-4Q2
=24(2)-4(2)2
=48-16
=32
Analisis: berawal dari tingkat penjualan sebesar 3 unitdan diperoleh penerimaan sebesar 36 dengan harga maksimal sebesar 12, jika barang yang dijual sebesar 2 unit maka penerimaan total sebesar 250.